それでは、実際に、垂心、外心の問題を解いて見ることにしよう。

 まず、三角形ABCを置き、線分AB=c=5、線分BC=a=7、線分CA=b=6、ABACと、

 頂点Aから下ろした垂線の足と、線分BCとの交点を、K、頂点Bから下ろした垂線の足と、線分CAとの交点をL、

 頂点Cから下ろした垂線の足と、線分ABとの交点をMと置く。

 この時、cos∠BACは、余弦定理から、1/5となる。

 加えて、垂心ベクトルH

 H=aa/cosA+bb/cosB+cc/cosC/a/cosA+b/cosB+c/cosC

 であることから、

 重心定理より、AH:HK=b/cosB+c/cosC:a/cosAとなり、

 重心定理と垂心ベクトルの本質から、AH:HK=49:95

 =95/144+30/144+19/144

 よって最初の定義通り、ABACを代入すると

 AH=30/144+19/144となる。(重心定理の本質の為、わざと約分していない。約分すると、AH=5/24+19/144

 

 続いて、外心であるが、

 線分AOの延長線と、線分B’C’との交点を、P、線分B’Oの延長線と、線分C’Aとの交点をQ、線分C’Oの延長線と、線分AB’との交点をRと置く。

 この時、

 垂心ベクトルH

 H=aa/cosA+bb/cosB+cc/cosC/a/cosA+b/cosB+c/cosC

 外心ベクトルX

 X=aacosA+bbcosB+cccosC/acosA+bcosB+ccosC

 の関係から、

 外心ベクトルに必要な新規ベクトルB’C’と、ベクトルの関係は、それぞれ、B’=b/2ccosA=30/10=3、C’=c/2bcosA=25/12

 重心定理より、AO:OP=bcosB+ccosC:acosA=49:95

 続いて、外心ベクトルの本質から、それぞれ、B’=b/2ccosA=30/10=3、C’=c/2bcosA=25/12を、代入すると

 AO=19/144b’+30/144c’=570/1440+750/1728(約分すると、AO=19/48+125/288)となる。

 

 一般的に、垂心、外心を求める場合は、垂心、外心の幾何的性質(垂心については、垂直条件、外心については、辺の垂直二等分線)、

 または、オイラー線を使いながら、気の遠くなるような係数比較の計算を経て、答えを求めている。

 重心定理と、垂心、外心の本当の意味での関係性を理解することが出来れば、本来ならば、10分以上の時間がかかるところを、3分程度で、

 従来のベクトル(教科書的方法)の方法のように係数比較の過程で多くの計算ミスの可能性にさらされることになることもなく、安心して計算が行えることとなる。

 まずは、垂心、外心について、垂心ベクトル、外心ベクトルともに、ベクトルの内積(垂直条件)や、係数比較を行わずに、直接求める方法、もしくは、

 垂心から外心を作る方法について説明してきたが、内容が理解できるかどうかは別として

 (予備校で教えているテクニックの根幹をなしている部分なのでわざと分かりづらく書いています)、

 このページを読んでいる人には、そういった方法が存在することは知ることが出来たと思う。

 ここでは、書いてはいないが、内心、傍心、重心、少なくとも2つの線分比が与えられた三角形ABCと共通の座標平面上の任意の座標に対して、

 簡単な四則演算でベクトルや、他の線分比が与えられることを、伝えておきたいと思う。

 おそらくは、それこそが、1次元と2次元の関係性だろうし、まだ、研究中では、あるものの3次元との関係性も同様なものだと思う。

 加えて、単位ベクトルの本当の意味での使用法だと考えられる。

 以上、幾何に関しては、基本的に、美しい条件、数式で表される。

 仮にベクトル座標や、辺の長さから求めようとして、複雑な式などになったとしても、その中では、対称式が成立したりする。

 ただ、数式の中で対称式などの関係性が現れた段階で、そこで、終了するのではなく、その先まで探索して欲しい。

 そうすることでもっと数学の世界が見えてくることになる。

 基本的には、初等幾何学では、何らかの形で美しく簡素な式で表されることを、意識して欲しいと思う。

 将来的には、図形とその線分比が与えられた場合、ひたすら、相似の図形を探したり、必死になってメネラウス、チェバの定理を繰り返して使うことなく、

 また、ベクトルの内積条件(垂直条件)から、計算ミスの可能性が多々ある係数比較の計算をゴリゴリとやったりすることがないような時代が到来するのが理想的である。

 そして、学生には、確率や、順列、組み合わせ、整数問題、必要条件、十分条件の本当の意味など、本当の意味で数学に対する力を見極めたり、

 本来の意味で計算力、数式適応力を見る微分、積分などの問題に当たって欲しいと思う。

 最後に、これらの成果がベクトルについて実験してきた結果である。

 何かの役に立つことを期待したい。

 

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