垂心、外心についてはオイラー線を利用して、OG:GH=1:2から求める方法が知られている。

 斜体をベクトルとおくと

 垂心ベクトルHは、

 H=atanA+btanB+ctanC/tanA+tanB+tanC

 とされていて、

 外心ベクトルXは、

 X=asin2A+bsin2B+csin2C/sin2A+sin2B+sin2C

 であるとなっている。

 

 少なくとも、私が高校や、大手予備校などで数学の勉強した時には、これらの公式は、入試数学で用いるには実用的では無いとされており、

 公式としては、暗記していたものの実際には、公式を使うことは無く、オイラー線を利用することで垂心や外心の問題を解いていた記憶がある。

 ただ、大学卒業後、仕事の関係上、再び、数学の勉強をする必要に駆られ、高校の勉強を復習している過程で気付いたことがあったのでここに記しておいておこうと思う。

 この自分なりの発見が実際の入試数学に際して、既に、知られていたものなのか、それともそうではなかったのかについては、この後の人の評価に任せたいと思う。

 ただ、この法則が知られていなかったものであった場合は、転載、引用する場合は、私の許可を取っていただけるようお願いいたします。

 薬局の仕事と、大学生の予備校の仕事(基本、薬学部の学生)の指導をしていて多忙なので、すぐの返信は厳しいかもしれませんが、どうぞよろしくお願いいたします。

 メールを送る場合は、pontamurai@yahoo.co.jp、件名(タイトル)に、垂心と外心と、入れていただければ、読ませていただきます。

 

 それでは、本題であるが、上記の垂心、外心の2公式は、単純な式変形を行うことにより、cosと、辺の長さで表せる式に変形できる。

 垂心ベクトルH

 H=aa/cosA+bb/cosB+cc/cosC/a/cosA+b/cosB+c/cosC

 外心ベクトルX

 X=aacosA+bbcosB+cccosC/acosA+bcosB+ccosC

 となり(斜体で無い英字は、辺の長さです)、

 垂心ベクトルと、外心ベクトルは、式内で、逆比の関係となっていることが分かり、このことと、射影幾何とベクトルの関係を使えば、

 2辺の長さと、2辺に挟まれた1角のsin、cosのいずれかの値が、有理数の分数(1桁)で表される場合、暗算で、垂心と、外心のベクトルは出るものとなります。

 

 垂心と外心の関係

 

 そもそも、射影幾何とベクトルの原理を知っている場合、辺の内分点、外分点の比が有理数で与えられている場合、内接四角形の場合と同様に、

 全ての辺の比は、暗算で出るものとなります(実際の線分の長さを知るには、更に、スチュワートの定理が必要)。

 実際に、私は、この原理について、本を読んで知った部分と、更に自分で発展させた部分を併用して、メネラウス、チェバの計算式を使うことなく、

 単純な加減乗除計算のみで、三角形(場合によっては、四角形以上でも、三角形に分解することで適応可。もちろん、空間ベクトルでも、成立します)

 の辺の比の問題の答えを出しています。

 後は、3辺が無理数の場合と、2辺に挟まれた1角のcosのいずれかの値が、無理数の場合ですが、これについては、計算の手間は掛かりますが、

 同じ方法で速算できます。

 最後に、1辺の長さと2角、3辺の長さのみ、2辺の長さと2辺に挟まれた角ではない別の1角が与えられていた場合は、

 2辺の長さと、2辺に挟まれた1角のcosの値を求めてあげれば、そこから後は、同じ手順であり速算できます。

 

 終わりに、感想として、予備校で大学生(薬学部生)を指導する講師として、高校の数学、物理、化学、生物、地学については、いろいろと勉強させられています。

 その過程で、小学校の算数や、中学校の数学、理科、インド式数学などを、通して色々なことを知れたと思います。

 小学校、中学校で習ってきて忘れているような法則や、計算法が、大学入試に、おおいに、役立つことを今更ながらにして、知りました。

 化学の分野などでも、小学校の算数の計算法から、化学平衡、アレニウスプロット(立式は簡単なので純粋に計算が大変)などを除き、

 ほとんど、計算を必要としなくなりました。

 その結果を、少しでも、残せておけたらいいなと思って載せていただきました。

 

 最後に、何か、間違えなどがあったときには、メールにて、連絡をください。

 所詮、薬学部出身の数学が苦手な人間の見つけた法則ですから、間違えはあるかとは思います。

 その場合も、件名(タイトル)に、垂心と外心と入れていただけるようお願いいたします。

 

 実例を載せてみました。 垂心と外心、問題

 

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